Etude de fonctions Bac S2 2003

A. On considère la fonction:

1) déterminer l’ensemble de définition de ; calculer  et 

2) Etudier les variations de . dresser son tableau de variations (il n’est pas nécessaire de calculer la limite de  en )

3) Déduire des résultats précédents que:

a) 

b) 

B) Soit g la fonction définie par :

1) Déterminer  (le domaine de définition de ); puis étudier la limite de  en .

2) vérifier que 

Montrer que 

b) En déduire que  Interpréter géométriquement ce résultat.

c) Dresser le tableau de variation de g.

d) Montrer qu’il existe un réel  unique appartenant à  tel que 

Donner un encadrement d’ordre  de 

3) Tracer la courbe  de  dans le plan rapporté à un repère orthonormal (unité = cm)

C. Soit la fonction définie par 

1) Montrer que  est dérivable sur  et que 

2) Déterminer l’aire du domaine plan limité par la courbe ; l’axe des abscisses; l’axe des ordonnées et la droite d’équation

 

Corrigé

:

 

 

1)  existe  et 

 

donc 

 

 

 

pour 

 

 tend vers  en + et  tend vers 0

 

donc 

 

2) Calcul de 

 

 

 

 

 sur 

tableau de variation de 

 

3) a) la fonction  strictement croissante sur  et 

 

si  alors 

 

d’où  sur 

 

b) la fonction  strictement croissante sur 

 

or  donc  sur 

 

B) 

 

 

1)  existe  et 

 

 

 

car {tex}\left\vert \frac{x+1}

 

{x-1}\right\vert {/tex}tend vers 

 

2) a) 

 

posons  si  alors 

 

donc

 

b) sur  

 

or 

 

 

 

or 

 

 

or en   tend vers  et  tend vers 

 

d’où 

 

la courbe de  admet au voisinage de  une asymptote horizontale d’équation 

 

c) calcul de 

 

d’abord sur  la fonction

 

est dérivable et est strictement positive

 

donc  dérivable sur

 

 

par produit 

 

dérivable sur 

 

d’où g est dérivavle sur 

 

 

 

or  sur 

 

tableau de variation de 

 

on a 

 

d)
la fonction  continue et strictement croissante sur 

 

donc  est une bijection de  sur 

 

donc  bijection  sur 

 

de plus 

 

ainsi l’équation  admet une solution unique 

 

Encadrement de 

on a:

 

donc 

 

3) Courbe de 

 

C)

 

 

1) dérivabilité de  sur 

 

sur ,  est dérivable et strictement positive

 

donc  est dérivable sur cette intervalle

 

ce qui entraîne que   est

dérivable sur cette intervalle

d’où  est dérivable sur 

 

Et on a 

 

 

 sur 

 

2) Déterminons l’aire  du domaine plan limité par la courbe , l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite d’équation

 

 

 

 

 

 

 

or