Polynôme Bac L 2011

Soit le polynôme  où a et b sont des réels.

 

1) Déterminer les réels a et b sachant que P(-2) = 0 et P (-1) = 8.

 

2) On pose .

 

a) Factoriser P(x).

 

b) Résoudre dans  l’équation P(x) = 0.

 

c) Résoudre dans  l’inéquation .

 

d) Déduire de la question 2.b) les solutions de l’équation (E).

 

E) .

 

Corrigé

 

 

 

1. Déterminons les réels a et b sachant que P(-2)=0 et P(-1)=8

 

P(-2) = 0 signifie que 

 

ce qui donne -8 + 4a – 2b + 6 = 0

 

soit 4a – 2b – 2 = 0 (1)

P(-1) = 0 signifie que 

 

ce qui donne -1 + a – b + 6 = 8

 

soit a – b = 3 (2)

 

P(-2) = 0 et P(-1) = 8 se traduit donc par le système :

 

 

soit

 

soit

 

soit

 

soit

 

2)

a) Factorisons .

 

Comme P(-2) = 0, alors -2 est racine de P(x) donc 

 

 

 

mais  donc par identification on a :

 

soit

 

Ainsi 

 

1 est racine évidente de 

 

donc P(x) = (x+2)(x-2)(x-3)

 

b) Résolvons l’équation P(x) = 0

 

 

 

 

c) Déduisons de 2b) les solutions de (E) :

 

 

 

en posant  on obtient avec X > 0

 

 

 

 car X > 0

 

Soit 

 

Soit