A. On considère la fonction:
1) déterminer l’ensemble de définition de ; calculer
et
2) Etudier les variations de . dresser son tableau de variations (il n’est pas nécessaire de calculer la limite de
en
)
3) Déduire des résultats précédents que:
a)
b)
B) Soit g la fonction définie par :
1) Déterminer (le domaine de définition de
); puis étudier la limite de
en
.
2) vérifier que
Montrer que
b) En déduire que Interpréter géométriquement ce résultat.
c) Dresser le tableau de variation de g.
d) Montrer qu’il existe un réel unique appartenant à
tel que
Donner un encadrement d’ordre de
3) Tracer la courbe de
dans le plan rapporté à un repère orthonormal (unité =
cm)
C. Soit la fonction définie par
1) Montrer que est dérivable sur
et que
2) Déterminer l’aire du domaine plan limité par la courbe ; l’axe des abscisses; l’axe des ordonnées et la droite d’équation
Corrigé
:
1) existe
et
donc
pour
tend vers
en +
et
tend vers 0
donc
2) Calcul de
sur
tableau de variation de
3) a) la fonction strictement croissante sur
et
si alors
d’où sur
b) la fonction strictement croissante sur
or donc
sur
B)
1) existe
et
car {tex}\left\vert \frac{x+1}
{x-1}\right\vert {/tex}tend vers
2) a)
posons si
alors
donc
b) sur
or
or
or en
tend vers
et
tend vers
d’où
la courbe de admet au voisinage de
une asymptote horizontale d’équation
c) calcul de
d’abord sur la fonction
est dérivable et est strictement positive
donc dérivable sur
par produit
dérivable sur
d’où g est dérivavle sur
or sur
tableau de variation de
on a
d)
la fonction continue et strictement croissante sur
donc est une bijection de
sur
donc bijection
sur
de plus
ainsi l’équation admet une solution unique
Encadrement de
on a:
donc
3) Courbe de
C)
1) dérivabilité de sur
sur ,
est dérivable et strictement positive
donc
est dérivable sur cette intervalle
ce qui entraîne que
est
dérivable sur cette intervalle
d’où est dérivable sur
Et on a
sur
2) Déterminons l’aire du domaine plan limité par la courbe
, l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite d’équation
or
